Kalman Filter and PLL

考慮如 Figure 1 個 burst mode 的 packet (任何 shared media 的傳送方式)。在 packet 最前頭都會有 1010.. 的 preamble 做為 bit/symbol synchronization。緊接在後的是事先定義好的 frame sync word 用來做為確認 lock 到對的 packet 以及 word boundary。最後才是實際的 data。這個應用 focus 在 preamble 部份 (1010..) synchronization，也就是找出 (estimate) preamble 的相位和頻率，同步之後的 data。  我們可以把問題重新定義如下：A [2pft + q]  如何根據接收端的 phase 找出發射端 f (or b = 1/(2pf) or T=1/f) and q ?

[Driessen94] 和 [Christiansen94] 兩人獨立証明了這個問題的最佳解是 Kalman filter，和二階的 PLL (PI filter)有一樣的結構。但是 Kalman filter time variant 特性比 一般 PLL 更快完成 acquistion。[Patapoutian99] 將兩人的 work 作了一個很好的整理。

Figure 1: Packet Frame Structure.

Bit Synchronization State Space Model

Figure 2 描述了這個 state-space model: 我們可以定義兩個 state variables 分別為 phase disturbance 和 frequency disturbance.  Output variable, y(k), 是 phase disturbance 加上 observation timing jitter.  同時, state-space model 中還包含了 phase 和 frequency noise.    

Figure 2: State-Space Model of Bit Synchronization.

 

Kalman Filter of State Space Model

一旦我們建立了 state space model，我們可以根據 y(k) 來估計 b(k) 和 q(k) (Kalman filter), 其解如下：

Figure 3: Kalman Filter Solution of Figure 2.

 

光從上面的方程式大概很難看出什麼名堂。K(k) 是所謂的 Kalman Gain, P(k) 是 X(k) 的 covariance matrix。重點是上述的 recursive 方程式和 2nd order PLL 有者一樣的架構 [Drissen94]。

 

Kalman Filter and PLL

Figure 4 是上述 Kalman filter 的等價 block diagram。The model includes a PI time-invariant controller followed by an integrator (remember Alper's work?  PI controller plus a slow VCXO - it's a integrator).  The Kalman filter is shown has the same structure as the 2nd order PLL.

[a(k), b(k)]' 即對應 Kalman gain, K(k).

Figure 4: Block diagram of the Kalman filter and a proportional integral PLL.

 

Bit Synchronization PLL 操作分為兩種模式：Acquisition 和 Tracking

在 Acquistion 模式，Phase 和 frequency disturbance 遠大於 process noise，Q 可以忽略不計。Kalman filter 表現如 dynamic loop bandwidth 的 PLL。開始時 loop bandwidth 會增加 ( a(k)/b(k) 變大) 以加快 acquistion 的時間。一旦鎖住 loop bandwidth 會減小 ( a(k)/b(k) 變小) 以減小最終的 phase jitter。下圖顯示這樣的一個例子： P(0|-1) 時同時有 phase 和 frequency disturbance，特別是 phase disturbance 很大 (1/12)。

 

在 Tracking 模式，Kalman Gain 會收歛到最終值。因此和 2nd order PLL 是完全等價。藉者 Kalman Gain 的幫助，可以找出最佳的 PLL 設計。

 

Follow Up Task

==> 如何將 continous PLL 和 Kalman filter 連結超來？如何設計最佳 PLL考慮 VCO noise, PFD noise, 和 sigma-delta modulator noise？如何考慮 stability？

==> How about if VCO noise is time variant?  Kalman filter should be better than PLL?

==> If adding the data after the integrator (sigma-delta or just random data), then what's the equation?? can use Kalman filter to explain it?